Galois Theory and Painlevé Equations

— The paper consists of two parts. In the first part, we explain an excellent idea, due to mathematicians of the 19-th century, of naturally developing classical Galois theory of algebraic equations to an infinite dimensional Galois theory of nonlinear differential equations. We show with an instructive example how we can realize the idea of the 19-th century in a rigorous framework. In the second part, we ask questions arising from general Galois theory and Galois theoretic study of Painlevé equations. We also propose an infinite dimensional Galois theory of difference equations. Résumé (Théorie de Galois et Équations de Painlevé). — Dans une première partie, nous rappelons une excellente idée de mathématiciens du 19 siècle en vue d’étendre la théorie de Galois classique pour les équations algébriques en une théorie de Galois de dimension infinie pour les équations différentielles non-linéaires. Nous illustrons par un exemple instructif comment concrétiser cette idée de façon rigoureuse. Dans une deuxième partie, nous formulons des questions liées à la théorie de Galois générale et aux aspects galoisiens des équations de Painlevé. Nous esquissons, en outre, une théorie de Galois de dimension infinie pour les équations aux différences.